위상 절연체 by 바죠



위상 절연체(topological insulator)
http://en.wikipedia.org/wiki/Topological_insulator
http://incredible.egloos.com/7311521

고체물리학, 1st 블릴루앙존, Kramers' pair, time-reversal invariant momenta, spin-orbit coupling, dirac-cone, surafce states, 2D electron gas, quantum spin Hall effect로 이어지는 이 환상의 컴비네이션, 고체물리학 책의 전반을 아우룰 수 있는 아이템들로 아주 가득하다.

동일한 해밀토니안을 주는 아주 특별한 k point. 고체속의 전자는 3차원 벡터 k point라는 양자 상태를 가지게 된다. 사실상 k point에서 해밀토니안이 만들어진다. 이는 전자가 고체 속에서 연속적인 경계조건을 만족해야만 하기 때문에 일어나는 일이다.
-G/2,   G/2
마찬가지로, (0, 0, 0) 도 위의 조건을 만족한다. 특별한 k point이다.
3차원 고체의 경우, 8개의 이러한 k point들을 1st 브릴루앙존에서 잡아 낼 수 있다.
2차원 고체의 경우는 4개의 이러한 k point들을 잡아 낼 수 있다. 
이러한 k point들에서의 파동함수의 시간역행 연산자에 대한 변화를 조사하면,  시간 역행  대칭성을 모두 조사하면 우리는 간단하게 이 물질이 위상 절연체인지, 통상의 밴드 절연체인지를 판정할 수 있다.
 반전 대칭 고유값(parity eigenvalue), 전도때, 가전자띠에서 서로 다른 부호를 가질 경우. 준위 밀침 없이 교차가 가능하게 된다.


결국, 이론의 결론은 절연체이지만, 표면에서만 전류가 흐를 수 있는 물질의 표면 상태가 가능할 수 있다이다. 이는 소위 에지 상태로 대변되는 전자 상태들이 다시 한 번 자신들의  중요성을 대변하고 있다. 이 부분이 고체 물리학책 뒷 부분에 나오는 내용을 근간으로 했었다면, 이번에는 좀 더 고체 물리학 책 앞부분에 나와 있는 기본적인 내용으로 접근 가능하다. 따지고 보면 밴드 이론이면 충분한 내용이다. 사실 세미-메탈의 밴드 구조를 더 열심히 연구했었어야 했다. 에지 상태들의 중요성은 오랜 시간 동안 고체물리학에서 아주 아주 강조되어온 측면이 있었다.

진정한 이론가들(케인, 멜레, 후)의 업적이고 발견아닌 발견이다. 사실 새로운 이론이고 자연에 대한 새로운 해석이라고 봐야한다. 절연체를 다시 볼 수 있게 한 계기는 아주 기본적인 내용 속에 이미 담겨져 있었던 것 이상도 이하도 아니다.

그림에서 나타낸 것처럼, 하나의 time reversal invariant momentum에서 다른 하나의 time revesal invariant momentum으로 에너지가 변해갈 때, 두 가지 방식이 가능하다. 하나는 기존의 상태들 사이에서 에너지를 공유하면서 이루었던 상태의 짝을 그대로 유지하는 경우이다. 다른 하나는 기존의 에너지를 공유했던 상태들이 각자의 짝을 버리고 다른식으로 변해온 새로운 상태와 새로운 짝을 이루는 경우이다. 짝을 이루는것은 에너지를 공유한다는 뜻이다. 이것은 Kramers' pair로 반드시 만족되어야하는 대칭성의 산물이다.  

홀수로 페르미 준위를 건드리고 있는 에지 상태를 결코 제거할 수 없는 사태가 자연스럽게 발생할 수 있다. 많은 실제 상황에서 있을 수 있는 방해에도 불구하고  한 번 만들어지면 확실하게 보호되어질 수 있는 상태가 유발된다. 즉, 사실상 새로운 2차원 금속체가 이론적으로 탄생하게  된다.  문제는 이러한 상태들은 이미 아주 오랬동안 존재하고 있었다. 사람들이 몰랐을 뿐이다. 

양자역학이 없었던 시절은 면제를 해준다고 해도, 70년간 모르고 있었던 고체, 절연체의 표면 상태에 대한 새로운 이론이 나온것이다. 이론이 화려할 경우, 실험을 앞서고 실험적으로 증명이 이루어진다. 이 경우 그대로 이루어졌다. 그 이해의 출발점은  아주 기본적인 내용으로 부터 나왔다. 한 가지 힌트가 있었다면 그것은 아마도 quantum Hall effect로 잘 알려진 edge state였을 것이다. 진정으로 많은 학자들이 70년 동안 표면 밴드 구조를 많이도 그렸었다.  
  
말해서 무엇하겠는가? 많은 이론가들이 저마다 무릎을 탁치면서 아주 아쉬워 하고 있을 것이다. 하지만, 사실상, 적어도 이론가들에게는, 지금 상황이 거의  게임종료 상황이다.  인져리 타임이 4분 주어졌는데, 지금 93분쯤 되었다고 본다. 현재 스코어는 0:2 정도 된다고 보면 된다.  물론, 이 이론을 바탕으로 새로운 이론의 구축은 지금 막 휘슬이 울린 꼴이라고 할 수 있을것이다. 실험물리학자들에게는 아직 많은 가능성을 열어 준 것이라고 보는 것이 옳다. 

3차원계의 경우는 스핀-궤도 상호작용(SOC)이 있더라도 운동량 공간의 추가적인 대칭축을 따라 디락 점이 안정화될 수 있고 결과적으로 디락 준금속 상태가 가능하게 된다. 2차원의 경우 SOC에 의해서 갭이 생기면서 디락 점이 없어짐.

디락 페르미온, 디락 콘 : 절연체와 위상 절연체를 구분하는 상태, T, I 대칭을 가지고 있음.
이러한 상태에서 T, I 중 하나가 깨질 때, 바일 페르미온 상태 생성됨. 두 가지 손지기를 가지는 하나의 쌍, 바일 페르미온 생성됨.
각자는 베리 커버쳐의 모노폴, 안티 모노폴에 해당. (천 넘버)--> 페르미 아크 존재 보장함. (IQHE)

1928 년 디락 방정식 : 양자역학 + 상대성 이론
1929 년 바일 방정식 : m =0 경우에 해당함.

바일 포인트 (바일 반금속) ---  베리 커버쳐 모노 폴

위상 절연체 : 운동량 공간에서 닫힌 곡선으로 페르미 표면
바일 반금속 : 페르미 아크 형성, 열린 곡선으로 벌크 바일 포인트에서 종료.

http://www.physics.upenn.edu/people/c.kane.html
http://www.physics.upenn.edu/~kane/pubs/bytopic.html#qsh
http://www.physics.upenn.edu/people/e.j.mele.html
http://en.wikipedia.org/wiki/T-symmetry#Kramers.27_theorem
http://en.wikipedia.org/wiki/Brillouin_zone
http://en.wikipedia.org/wiki/Bloch_wave
http://old.kps.or.kr/storage/webzine_uploadfiles/2630_article.pdf

그림 출처 및 참고 문헌:
p69.pdf
nphys955.pdf
1525_article.pdf

Chern number (TKNN, 1984) : winding number  = n
quantum Hall conductivity, sigma_{xy} = n e^2/h

edge states : 1D chiral Dirac fermions
n=0 : vacuum
n=1 : QHE state

Insulators in 2D and 3D with time reversal symmetry : 0,1
2D : QSH insulator
3D: 3D TI

디락 준금속 두 가지 형식
case 1, 디락 점  : T, I, 회전대칭성 --> Cd3As2, Na3Bi        : TRIM 4중 겹침
case 2, 디락 점  : T, I, nonsymmorphic symm. beta-BiO2  : TRIM 4중 겹침

T, 또는 I, 아니면 둘 다 가 꺠진 상황: 2중 겹침. Weyl 점  2중 겹침
천 숫자=손지기 전하=나선 전하

Weyl 준금속 Type I
case 1. T 대칭, k, 연결 -k,    k', 연결 -k', 총 4개의 바일점. TaP, PaAs
case 2. I 대칭, k, 연결, -k, 연결된 두 개의 바일점의 나선전하는 부호가 반대가 된다.
pyrochlore 구조를 가지는 이리륨 산화물[13]과 HgCr2Se4 와 같은 자성체

Weyl 준금속 Type II
두 페르미면 사이에 바일 점이 존재하게 되는데 이렇게 기울어진 에너지 분산을 가지는 바일 준금속이 Type II

질량없는 디락 페르미온 : 그래핀 Two spin-degenerate bands (4 bands) at BZ corners (K&K') touch at Fermi level and disperse linearly

Topological surface chiral fermions ~ Jackiw-Rebbi solition
Zeeman field can open gap on TI surface and lead to quantum anomalous Hall effect: each surface contribute e^2/(2h) Hall conductance

2D HgTe/CdTe quantum well, 3D Bi-based chalcogenide
TI : bulk band gap, gapless states (nontrivial topology of bulk electronic states)

TSM: band crossing (Dirac and Weyl semimetals), nodal line in momentum space
Dirac semimetal : Na3Bi, Cd3As2 band crossing point at Ef (4-fold deg.)
Breaking either I or T in Dirac semimetal --> Weyl semimetal ( a pair of doubly deg. Weyl points with opposite chirality)
Weyl semimetal : HgCr2Se4 TMD, TaAs family

nodal line semimetal: w/o SOC, T and I
                               w SOC, additional nonsymmorphic symm. ZrSiS


베리 커넥션의 컬이 베리 커버쳐, 베리 커버쳐의 2차원 적분(2차원 폐곡면)이 양자화된 천 수에 해당한다. Weyl 점 주변에서 3차원 구를 생각하면, 천 수는  +1, -1 이 계산된다. Weyl 점의 카이럴 전하, 손지기 전하에 해당한다. 브릴루앙 존 전체에 대해서 총 손지기 전하의 합은 ㅇ이다. k 공간에서 바일 노드 = 전하의 크기가 키랄리티가 되는 자기 홀극

준금속을 만드는 입장에서는 SOC 가 방해가 된다. SOC 가 밴드갭을 만들려고 한다. 이 때, 추가적인 대칭성이 있으면 밴드갭이 열리는 것을 막을 수 있고 준금속 상태를 확보할 수 있다. nodal line 준금속: SOC, non-symmorphic symmetry
ZrSi(S, Se, Te), IrF
non-centrosymmetric case, mirror symmetry, PbTaSe2


베리 위상은 실험적으로 관찰이 가능하다.
1/B  vs  Landau index
Berry phase = 0
Berry phase = pi

SdH  vs   1/B






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덧글

  • 필군 2011/05/22 00:45 # 답글

    실험적으로 증명이 되고 있나요? electron exchange/correlation에 대한 exact solution이 없는 한 band-theory만 가지고 예측하는 것은 한계가 있을 듯 - 뭐 전공이 아니다 보니 기우일수도 있겠습니다만.
  • 바죠 2011/05/22 05:56 # 삭제

    이론에서 예측한 그대로 실험이 되고 있습니다. ARPES, STM으로 증명이 가능합니다.
    그래핀에서 와는 달리 Dirac-cone들이 짝수개가 아니고 홀수개 나타나는 것을 증명할 수 있습니다. 전자 구조가 실험적으로 관측됩니다.
    지적하신 실제 계산에서의 exchange-correlation 포텐셜과는 상관이 없습니다. 오히려 DFT보다 더 근본적인 Kramers' pair, time reversal invariant momenta로 부터 직접 유도할 수 있는 밴드이론의 연장이고 표면 상태에 대한 진정한 해석적 결과입니다.
  • 필군 2011/05/22 10:34 #

    고체 물리가 background가 아니다보니 follow-up하기 좀 힘들군요. 말씀하신 내용들이 일반적인 고체물리교재에서 언급되나요? 관련서적 추천해 주셨으면 합니다.
  • 바죠 2011/05/22 15:16 #

    죄송합니다.
    팔로우업하시겠끔 적었어야 했는데, 아무튼 죄송합니다.

    양자 역학/고체 물리 책에 time reversal operator, inversion operator, band theory 정도는 나옵니다. Kramers' theorem도 잘 알려진것 입니다.

    inversion operator : r, p,s --> -r, -p, s
    time reversal operator : r,p,s ---> r, -p, -s

    저도 졸업한지 오래되어서 다시 한번 찾아 봐야 할것 같습니다만, Kittel의 quantum theory of solid정도의 책에 나오는 것으로 기억합니다.

    실제 연구내용들은 레퍼런스들에서 자세하게 언급하고 있습니다.
  • S 2011/05/22 14:39 # 삭제 답글

    위상절연체는 어떤 특성이 있는건가요?
    표면만 도체..라는건 다른 도체나 절연체와 비교할때 어떤 다른 특징이 있는지 궁금합니다.
  • 바죠 2011/05/22 15:30 #

    전하-홀 전도도= 0
    스핀-홀 전도도= 2

    시간역행 대칭성을 깨지 않는 상태로 보장되는 효과입니다.

    2차원 위상의 표면을 가지고 있는 3차원 물질의 재해석이라는 관점이 있습니다.
    단순한 절연체로 구별하는 것 대신에
    밴드 절연체,
    위상 절연체로 절연체를 구별해야 합니다.

    edge state들의 역할로 양자 홀 효과등이 나타났었는데, 위상 절연체는 이러한 상태들이 추가적으로 자연에 존재할 수 있음을 알아낸 것입니다. 추가로 2차원 전자계를 하나더 만들어 낸 것으로 볼 수 있습니다. 만들었다기 보다는 찾아낸것으로 보아야 합니다.



  • 먼데 2011/05/22 19:44 # 삭제 답글

    그래핀도 그렇고 TI도 그렇고, 반데르바알스 형의 결합을 하는 놈들은 전혀 도움이 안됨. 뭐 조작을 할 수가 있어야 실험을 하든 말든 하지. ㅉㅉㅉ. 안 그런 놈들 중에 TI를 발견해야...
  • 바죠 2011/05/23 08:21 #

    지금 현재, 실험이 이론을 못따라가는 형국인 것 같습니다. 아무튼, 자기장 없이 이루어지는 효과이고, 조금 무거운 원소들로 가능한 것이니깐 조금 더 기다려 볼 필요는 있을것 같습니다.
  • 지나가다 2011/05/25 10:18 # 삭제 답글

    TI에 대해서는 가슴 아픈 이야기들이 많은 것이,
    일단 서울대학교 오세정 교수님 실험 그룹에서 ARPES로 Bi2Se3의 Dirac surface state를 2007년에 직접 봤지요.
    Bi2Se3이 TI임을 처음 말한 H. Zhang의 이론 논문에서도 이를 인용하는데, 역시나 사람들이 기억하는것은.... ㅜ.ㅜ
    그리고, 아는 선배가 포닥으로 가 있는 Northwestern에서도, 예전에 DFT로 surface state를 계산한 논문이 있더라구요.
    아마 지금 땅을 치며 후회하는 사람들이 위에 말한 예들 말고도 몇명 더 있을지도...

    그리고, 이론가들에게 이미 상황 종료되었다고 아쉬워하실 때는 아직은 이른듯도 합니다. ㅋ
    얼마 전에 시간 대칭이 깨진 상황에서의 위상절연체 상태가 발견되었거든요. 다음 링크를 참조하세요.
    http://physics.aps.org/articles/v4/36
    현재로는 Weyl semimetal, Axion insulator 2종이 새로 TI로서 드러난 듯 한데, 이 새로운 상들이 어떤 물리적인/재료공학적인 의미를 가지는지에 대해서는 아직 잘 알려지지 않았으니, 할 일이 아직도 많지 않은가 합니다. ;)
  • 바죠 2011/05/25 16:54 #

    아, 그러한 일이 있었군요.
    참고 문헌을 읽어보아야 하겠습니다.
    감사드립니다.
  • 지나가다 2011/05/25 10:23 # 삭제 답글

    그리고,
    위에서 3차원 BZ에서 8개의 TRIM들에서 시간대칭 역행성을 조사한다고 하셨는데,
    한마디 덧붙이자면, 원래 unit cell에 시간대칭 뿐 아니라 공간반전대칭이 존재하는 상태에서 공간반전 연산자의 eigenvalue를 조사하는 방법입니다. 공간반전대칭이 없다면 전체 BZ에서 Berry connection을 구해야 하지요.
  • 바죠 2011/05/25 17:01 #

    정확하게는 후 - 케인 PRB눈문의
    w_mn =< u_m THETA u_n>를 계산하고 determinantt, 파피안을 계산하면 되는것 아닌가요?

    TI 전문가가 블로그를 찾아주셔서 몸 둘바를 모르겠습니다.
    조금 더 부연설명 부탁드립니다.


  • 지나가다 2011/05/26 02:07 # 삭제 답글

    전문가라니요, 논문 없는 슬픈 ;) 대학원생일 뿐입니다.

    말씀하신 w_mn(k)을 계산하면 되긴 하는데, 문제는 w_mn이 BZ 위 각 k point 위에서의 eigenvector등의 overall phase에 의존하는 값이라는점에서 문제가 생겨요. w_mn으로 P_theta를 계산하는 식 자체가 BZ의 특정 TRIM들 사이에 연속적인 phase를 잡을 수 있다는 가정 아래에서 유도되었기 때문에, 각 k마다 phase가 제멋대로 나오는 전자구조 계산에서는 이 방법을 쓰기 어렵지요.

    그래서, 보통은 말씀하셨던 Fu-Kane PRB 논문의 부록에 나오는 방법, 그러니까 BZ 전체에서 Berry curvature를 적분하는 방법을 쓰거나(http://arxiv.org/abs/cond-mat/0611423), 공간반전대칭이 있는 경우는 훨씬 간단하게 각 TRIM에서의 eigenvector등의 parity만 가지고 위상절연체 여부를 판별할 수 있어요. (Phys. Rev. B 76, 045302 (2007)) 전자구조 계산을 이용한 위상절연체 판정에 사람들이 가장 많이 사용하는것이 이 방법이기도 해요.
  • 바죠 2011/05/26 11:32 # 삭제

    제가 한 몇년 동안 전자구조 계산 분야를 떠나있다가 다시 돌아와 보니 이 주제가 아주 매력적이더라구요. 그래서 늦게 나마 공부를 하고 있는데, 큰 도움을 주시셔 감사드립니다. 저의 전공은 density functional theory 를 이용한 원자/전자구조 계산 분야입니다.
    앞으로도 많은 통신을 희망합니다. 제가 배울것이 많을것 같습니다.
  • 바죠 2011/05/26 11:28 # 삭제 답글

    대단히 감사합니다.
    제가 앞부분에서 말씀하신 것에 대한 계산을 시도하고 있습니다. 일부 계산도 해 보았는데요. 지적하신 문제점이 있는줄 저는 몰랐습니다.
    주요한 아이템을 지적해 주셔서 다시 한 번 감사드립니다.
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