Topological materials(위상 물질) by 바죠

Topological Insulator (TI, 위상 절연체) 연구가 지난 10여년 동안  활발하게 진행되어왔다.
http://incredible.egloos.com/4577409

TI는 위상 물질 연구의 새로운 시작이였다. 그 뿌리는 정수 양자 홀 효과(integer quantum Hall effect; IQHE)라고 볼 수 있다. (KT transition 포함)
정수 양자 홀 효과에서 얻어낸 개념들이 위상 절연체를 해석하는데 아주 주효했다. 
물론, 그래핀의 전자구조 특성 연구도 아주 중요한 항목이였다.  
정수 양자 홀 효과를 주는 끝머리 (모서리, edge) 상태의 존재에 특별히 주목해야만 한다.

TI (topological insulator)물질: qsH (quantum spin Hall) 시스템(2D, 반도체 시스템, 양자화된 스핀 홀 전도도, 전하 전도도는 0)의 확장이다. TRS (time reversal symmetry) 를 보존한다. Kramers degeneracy --> a pair of states, opposite spins and momenta. Backscattering between these states is forbidden.
https://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_spin_Hall_effect


https://physics.aps.org/articles/v2/15



위상 특성은 전자, 광자, 포논에도 공통으로 적용이 가능하다.
 
최근에는 금속 특성을 가지는 위상 물질 연구가 활발하게 진행중이다. (Dirac semimetal, Weyl semimetal, nodal line)
위상학적 특성을 보이는 전자구조 연구가  더 넓은 영역에서 적용된다. 위상 절연체라고 하는 절연체에 더이상 국한될 필요가 없게된 것이다. 정확히 같은 개념이 지속적으로 활용된다. 다만, 밴드갭이 있고 없고의 차이만 있게 된다.  
금속에서도 위상 절연체 이론이 그대로 적용된다. 물질뿐만아니라 이론자체도 사실은 좀 더 확장된 것이다.
spin-orbit coupling(SOC)에 의해서 밴드갭이 열린 경우가 위상 절연체이다.[외부 자기장에 의해서 준위가 갈라지듯.]
소위, 에너지상으로 밴드들이  뒤집어진것이다. band inversion 이 위상 절연체 생성의 조건이였다.
밴드가 뒤집힌 것을 어떻게 알아낼 수 있느냐? 파동함수의 특성을 보면 알 수 있다. 같은 k point에서는 가전자대와 전도대 사이의 에는 원자궤도 성분 특징이 있다. 특정 원자 궤도가 각각 더 많이 가전자대 또는 전도대에 기여한다.
 금속의 경우에는 좀 다르다. SOC가 있고 없고를 따지기 보다는 결정의 대칭성이 더 중요하게 된다.
이처럼, semimetal에서는  SOC가 더이상 큰 일을 하지 않는다고 말할 수 있다. 오히려 결정 대칭성이 더 큰일을 한다고 볼 수 있다.

nodal line : SOC 없이, 통상 두 가지 원인들이 있다. mirror symmetry 또는 pi Berry phase,
두 가지 동시에 또는 하나면 있어도 nodal line이 생기게 된다.

밴드갭이 여전히 닫혀 있어도 위상 특성이 그대로 나타날 수 있다.

또는, 탄소 기반 물질에서처럼 SOC 가 약한 경우도 마찬가지이다. 약한 SOC 때문에 밴드갭을 열지 못한 경우도 마찬가지이다.
즉, 금속에서도 위상 특성은 그대로 나타날 수 있다.  SOC 없이 결정구조의 대칭성(시간 역진 대칭 포함)만으로 위상 물질은 가능하다. 시간역진 대칭, 결정구조 대칭, SOC의 조합에 따라서 다양한 위상 물질 분류가 가능하다. 가장 간단한 상황으로 시간역진 대칭 또는 반전대칭 둘 중 하나만 깨어지면 된다. 하지만, 둘다 있고 SOC가 매우 약한 경우에도 바일 금속과 유사한 금속 특서이  여전히 가능하다. 마디선, nodal line과 같은 전자구조가 가능하다. 일차원 페르미 표면이 가능하다.

결정구조의 대칭성에 의해서 반드시 존재하게 되는 끝머리, 모서리 상태는 물리적으로 매우 높은 캐리어 이동도를 의미한다.
특별히 충돌을 해서 갈 곳이 없기 때문에 직진할 수밖에 없는 상태가 된다. 비자성 불순물과 충돌로 부터 튕겨져 되돌아 갈 수 없다. 

이론적으로는 베리 위상을 언급하지 않을 수 없다. 결국의 기원은 베리 위상 문제 풀이와 닿아있다. 자기장 홀극을 주는 배리 위상에 주목해야만 한다. 1984년 베리위상 1984년 TKNN 논문이 핵심 논문이 된다는 뜻이다. 물론, 케인-멜레-푸 등이 위상 절연체 개념을 직접 언급한 사람들이다.
https://en.wikipedia.org/wiki/Berry_phase

Weyl 이 1929년 발표한 입자는 80년 이상의 물리학사에 해당 입자가 없었다.
1937년 Herring 이 고체에서 밴드가 교차하는 것을 보고 Weyl fermion의 가능성을 언급하였다.
Weyl fermion은 chirality를 가진다. 왼쪽, 오른쪽
E 와 B에 의해서 chiral symmetry는 깨진다. (chiral fermions and magnetic monopoles) [가상의 자기장을 느낀다. 베리위상]

외부 자기장 B와 전기장 E가 평행일 때, 더 많은 전류를 흘려 보낼 수 있다.  chiral anomaly.
유한 온도에서 negative magnetoresistance 기대할 수 있다. http://www.nature.com/articles/nmat4787

Weyl particles are topologically protected from scattering.  momentum-space magnetic monopole configuration

https://physics.aps.org/articles/v8/84

2차원 표면에서 페르미 표면은 원형이다 (momentum space에서). 통상의 금속이 경우 (cyan 색으로 표시된 것.)

바일 준금속의 경우는 이와 다르다. 2차원 표면에서 페르미 아크가 생긴다(momentum space에서). 페르미 표면이 원형이 되지 못한다. 그래서 임의의 붉은 원형과 만나는 점의 개수가 짝수가 되지 않는다. 홀수가 된다. 아크가 끝나는 점은 벌크상태의 모노폴에 해당하는 점이다. (momentum space에서)

Chern number == the band-structure invariant (momentum-space wavefunction winding index)

바일점들은 결정의 바운더리를 통해서만 연결이 된다.

bulk Weyl cones and topological Fermi-arc surface states, 이 두가지를 실험적으로 보여야한다. (실험 연구의 경우)


topological invariant 의 변화에 주목해야만 한다.
이것은 자유 에너지나 에너지 분산 관계로 부터 얻을 수 있는 것이 아니다. 시스템의 고유상태로부터 얻어낼 수 있는 것이다.

Hall effect  [1980년 발표된 폰 클리칭의 정수 양자홀 연구는 물질의 “위상학적 특성”을 “물리적 방법”으로 측정할 수 있었던 최초의 사건이다. 블록 파동 함수가 momentum space에서 소용돌이 구조를 갖게 될 때 그 소용돌이 수가 바로 홀 전도도에 나타난다.]
Topological insulators [할데인 모델은 외부 자기장이 없는, 고체 결정체에서도 양자 홀 효과를 얻어내는 것이 가능하다는 점을 시사했다. 양자홀 효과의 정수를 Z2 숫자로 대치하고, 2차원을 3차원으로 확장하면 위상 절연체를 얻을 수 있다.]
Topological superconductors
Topological Dirac, Weyl semimetals
Topological photonic crystals, metamaterials

Theta |k, up>= |-k, down>, time reversal transformation  
<-k, down | U | k, up> = - <-k, down|ThetaUThea|k, up> = -<k, up|U|-k, down>* = -<-k, down|U|k, up>

<-k, down |V| k,up> =0
nonmagnetic potential V, absence of backscaterring


TKNN invariant = topological invariant nu =1.
sytem의 모양, 전자 상호작용과 상관 없다.
Landau 준위가 완전히 찾을 때, filling factor nu = 1, Hall conductance:  e^2/h

Lorentz force : chiral edge channel
spin transverse force (no field, no Landau level): qaH, qsH 

ferromagnetic insulator, spin-orbit coupling
qsH effect : SOC, spin-1/2, no charge Hall conductance, non-zero spin-Hall conductance
opposite spin transverse forces
Topological Insulators == as a generalization of the qsH systems


2016년 노벨물리학상 수상자들의 업적이 위상 물리학이였다. 본격적인 위상 물리학의 시대에 접어 들었다고 볼 수 있다.
https://en.wikipedia.org/wiki/Topology
ground state    vs    excited state
quantum critical point  (energy gap = 0)    <---            deformation

adiabatic continuity   <--->  topological equvalence

topology (genus) : global property
cruvature : local property

the topology of quantum states is converved so long as energy gaps do not close


모노폴, 반모노폴, 그리고 그들의 배치. inversion symmetry가 있는 경우(좌), TRS 가 있는 경우(우)
https://arxiv.org/pdf/1708.05791.pdf


위상 물질의 특징은 아래와 같다.
[one-way gapless edge modes immune to scattering
dispationless conduction channels on the deges like the QH effect]
spin-momentum locking: 움직이는 방향에 수직으로 스핀이 고정된다.
possible application to opto-electronic devices
high mobility    ~10,000 cm^2/V/s  [저전력 소자 구현을 위한 소재가 된다.]
이론적으로 먼저 제안됨:  2005 prediction : 2D TI,   2007 prediction : 3D TI
현재 ~100 materials
TI의 경우 SOC에 의해서 특이한 전자구조가 만들어진다. 물질 표면에만 전도상태가 존재하게 된다. 물질 내부에는 전도상태가 없다.
SOC없어도 대칭성으로만 위상 물질이 가능하다.  
위상물질의 이해는 양자 홀효과의 연장선이다.
양자 홀효과는 2차원 전자가스 상태, 낮은 온도, 강한 자기장에서 관측되는 양자화된 전기전도도 특성이다.
전기전도도 특성이 10^9 분의 1 수준으로 측정된다. 샘플의 순도와 무관하다. 이것은 전자구조의 위상학적 특성이 표출된 것이다. 전기전도도에 기여하는 전도현상은 순전히 끝머리 상태에 의해서 결정된다. 끝머리 상태는 양자화되지 않은 상태이다.
샘플 내부에 해당하는 상태는 에너지가 양자화되어 있어서 전자구조는 에너지 갭을 가지고 있다.
이 끝머리 상태는 한 쪽으로만 움직인다. 원초적으로 U 턴이 불가능하다.
마찬가지로 위상 절연체의 경우에도 물질 내부는 절연체이다. 물질 표면은 끝머리 상태로서 전기전도도에 기여할 수 있다.
표면에서, 한 쪽으로만 갈 수밖에 없는 상태가 존재한다. 좌우로 갈 수밖에 없는 상태가 각각 존재한다. 
양자 스핀 홀 효과(전하가 아니고 스핀)가 일어난다.
양자 홀효과에서 중요한 역할을 한 자기장 역할을 위상 물질에서는 SOC가 하게된다.
이 경우가 위상 절연체이다. 양자 홀효과 정수가 위상 절연체의 Z_2 수에 해당한다.
위상 절연체가 아닌 위상 물질의 경우, SOC와 무관할 수 있다.
SOC 없이 위상 특성은 가능하다. 이 경우, 반드시 특정 대칭성이 필요하게 된다.
시간역진 대칭성, SOC 크기를 동시에 따져보아야 한다.

위상 물질은 결국, 대칭성과 위상 특성이 만들어낸 것이다.
http://physics.gmu.edu/~pnikolic/articles/Topological%20insulators%20(Physics%20World,%20February%202011).pdf
http://www.nature.com/nphys/journal/v4/n5/pdf/nphys955.pdf
https://arxiv.org/pdf/1509.02295.pdf

새로운 물질 분류 방법을 제시함.
경계 영역에서 unclosed Fermi arc : 실험적 검정 방법, Dirac, Weyl
기존의 자발적 대칭성 붕괴 방식으로 물질상 분류 방식과는 다른 분류 방식이 도입될 수 있다.
https://en.wikipedia.org/wiki/Spontaneous_symmetry_breaking


Lanndau
spontaneous symmetry breaking
예를 들면 아래와 같다.
Liquid crystals    : broken translational symmetry
Magnets             : Broken rotational symmetry
Superconductors : Broken  gauge symmetry

통상, 물리학에서 대칭성은 중요한 역할을 해 왔다.
symmetry  --->    simplication, conservation, wall papers, classification (broken symmetry) 
topology    --->    deformation, topological phases of matter

symmetry and topology  --> new understanding 위상 물질

quantum electronic topological phases:
topological band theory

quantum Hall effect (QHE)
Topological Insulators
Topological Superconductors

covalent insulator :       1 eV                                semiconductors
atomic insulator   :      10 eV                                solid argon (atomic insulator)
The vacuum        :   10^6 eV  =  2m_e c^2

genus = 0
genus = 1


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quantum Hall effect 그리고 Topological Insulator(TI) :  비교 사항 
quantum Hall effect                 vs           TI
B field                                   vs          spin-orbit coupling (SOC)
2D electron gas                      vs          2D, 3D
IQHE, 1D chiral fermion           vs          2 copies of IQHE --->   edge(up), edge(down), spin-momentum locking
n                                          vs          Z_2 invariant
https://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_Hall_effect

2D electron gas, low temperature, and a strong B
edge state : quantized energy를 가지지 않는다. 에너지 갭을 가지지 않는다. 한 쪽으로만 움직인다. the electrons have no choice but to propagate forwards
에너지 손실없는 완벽한 수송현상 구현함.

TI : no magnetic field 상황에서 관측됨. B  대신에 SOC가 그 역할을 함.
IQHE (Integer Quantum Hall Effect)
2D cyclotron motion(Lorentz force), Landau levels
energy quantization, energy gap, but not insulator
quantized Hall conductivity                                     :     sigma_xy   =   n e^2/h
topological invariant                                               :      n, integer,    "Chern number"
TKNN 1984
Edge states                                                          :      topologically protected 1D chiral Dirac fermions

10^9  : 1,  양자 홀효과 측정의 정밀도, 10억분의 1 accuracy

vacuum                           :           n =  0 
QHE state                        :           n = 1
Z_2  topological invariant   :           n, 정수
one-way street  1D chiral Dirac fermion
no choice but to go forward, perfect transmission, dissipationless

2D : QSH insulator
3D :  3D TI


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quantum spin Hall effect
H_SO  =  lambda L(angular momentum) . S(electron)

2 copies of IQHE --->   edge(up), edge(down)

2D TI

2pi  -->  -1
electron
Energy   vs    k
right moving, left moving

3D TI


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Su Schrieffer Heeger model  : Topological phases in 1D
undimerized     ->   delta = 0         : conductor
dimerized         ->   delta ~ |u|     : insulator
A phase : u < 0
B phase : u > 0
separated by quantum critical point
topologically distict
winding number characterizing valence band

A phase   ------------------------x------------------------- B phase
delta >0 ,  gap                            delta =0                               delta > 0, gap

topological boundary modes
E = 0,  zero mode
low energy states (topologically protected)


chiral symmetry   :                           { H(k), sigma_z }  =  0,  anticommutation
sigma_z  H(k)  sigma_z   =   -H(k)
sigma_z |psi_E> = |psi_-E>
state at E has a partner at -E


(1)  integer winding number
(2)  particle-hole symmetry spectrum
H sigma_z  |E>   =   -E sigma_z  |E>,
sigma_z |E>       =    |-E>

Reflection symmetry
d_z  /  =  0
no particle-hole symmetry

t1 > t2
=  -  =  -  =
P=0, Berry phase =0

t2 > t1
-  =  -  =  -
P=e/2, Berry phase =pi

H(k) = sum k C'kA CkB (t1 +t2 exp(ika))  + h.c.
hab(k) = d(k) . sigma
dx(k)  =  t1 + t2 cos(ka)
dy(k)  =  -t2 sin(ka)
dz(k) = 0

 

 Reflection symmetry
=  -  =  -  =

P = -P mod e
P=0 or P=e/2

 



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Topological superconductivity

superconductor (BCS)
energy gap for quasiparticle excitations
intrinsic particle-hole symmetry
addiing electron in CB == adding hole in VB

1D Topological superconductor
2 topological calsses
zero energy end state

Majorana fermion
particle  =  antiparticle

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Solid Argon
atomic insulator

Covalent insulators

topological phase of matter
: qHi
2D electron gas in high B and low T

Egap  =  hbar omega
but not an insulator

Jy  =  sigma xy  Ex
sigma_xy  =  n e^2/h

10^{-9}
1982:
integer topological invariant
TKNN
Chern number
n = 1/(2pii) ....


insulator :
               n = 0 
IQHE state:
               n = 1, 2, 3,....


Edge States
classical    : skkiping orbits  (한 쪽으로만 움직임)
quantum     : 1D chiral Dirac fermions,  E = v p
Chiral edge states are topologically protected
insensitive to disorder
precisely quantized conductance
without dissipation
 
Bulk invariant       =   Boundary invariant
Chern number      =    # chiral edge modes

Time-reversal symmetry

magnetic field
B   -->   -B

Chiral edge state
right mover  ->  left mover

spin angluar momentum
S   -->  -S
up       -->     down, complex
down   -->   -up, complex

T^2 = -1    -- >  Kramers' Theorem
at least 2-fold degerate



QSHI

2 copies of qHE

HgCdTe qauantum wells

3D 
four Z2 invariants

Bi2Se3
gap  =  0.3 eV
room temperature TI

break TI

break gauge symmetry (Superconducting Proximity Effect)
topological superconductor


energy gap for quasiparticle excitations
particle - hole symmetry

1D topological superconductor

particle  =  anti particle





 spin
+B
-B

high Z materials


2D qsHi (2005)

No U turn

up spin
down spin

2006  : 
2007  :


3D

No U turn

Conducting surface
~100 materials

Majorana fermions
Axion electrodynamics
spintronics
Topological Bose condensate



symmetry
invariant
characterize

topology
deformation
distinguish

genus = 0
genus = 1
sphere : g=0
nonut : g=1

Gauss-Bonnet Th.
\int Gaussian curvature . dA  = 4 pi (1-g)
https://en.wikipedia.org/wiki/Gauss%E2%80%93Bonnet_theorem



adiabatic deformation
topological quantum critical point


Topological equivalence : princple of adiabatic continuity

H(k): BZ (torus) -> Bloch Hamiltonian with energy gap

quantum Hall (Chern) insulators
TI
Weak TI
Topological crystalline insulators
Topological (Fermi, Weyl, Dirac) semimetals
 

fractional quantum numbers
topological ground state degeneracy
quantum information
Symmetry protected topological states
Surface topological order

Topological superconductivity
Proximity induced topological superconductivity
Majorana bound states, quantum information


Gauss-Bonnet Th.
https://en.wikipedia.org/wiki/Gauss%E2%80%93Bonnet_theorem


chiral symmetry : {H, sigma_z} = 0, anticommutation
particle-hole symmetry


Thouless charge pump
H(k,t+T) = H(k,t)
delta P  =  Berry phase(0) -Berry phase(T)  =  ne

Chern number: an integer topological invariant characterizing the occupied Bloch sates

IQHE : Laughlin

E = 1/(2 pi R) d flux/dt
I = 2 pi R  sigma_xy  E
flux (0)  = 0
flux (T) = h/e

delta Q  =  int_0^T  sigma_xy  d flux/dt  dt  =  sigma_xy   h/e
ne  =  sigma_xy   h/e
sigma_xy  =  n   e    e/h

TKNN invariant

flux  =  h/e
ky   =   2 pi/a


https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_phase
|u(k)>  -->   exp(i phi) |u(k)>
      A   -->   A + grad xi
 

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single particle topological phases  +  translation symmetry, crystalline matter  ==> Topological Band Thoery
H |psi> = E |psi>
[H, T(R)] = 0
T(R) |psi> = exp(ik.R) |psi>
|psi>  =  exp(ik.r)|u>
Bloch Hamiltonian
H(k) =  exp(-ik.r) H exp(ik.r)
k in the BZ = Torus^d
Band Structure, H(k)

k parameterization ---> Berry phase
파라메터카 있으면 언제나 베리위상이 있다.
|uk>  =>  exp(i alpha) |uk>
Berry connection : A = -i <uk|  grad  |uk>
A  =>  A  + grad_k phi

two-level system, parameterized by k, Bloch hamiltonian
H(k)= d0(k) I + d(k). sigma  =   d0+dz      dx-idy
                                            dx+idy     d0-dz

Electric polarization in 1D
rho_b = - div . P
Qend = P . nhat
Qend ----------------------------------- -Qend
Polarization is a Berry Phase
P = e/2/pi \int  A . dk
-pi -------  pi
A = -i < | grad | >

Intrinsic ambiguity
Qend = P mod  e
Berry phase under gauge transformation
| uk>  -->  exp(i alpha) | uk>
\int  grad ph dk
Large gauge transformation
ph(pi/a)-ph(-pi/a) =2 pi n
P -> P + e n
gamma -> gamma + 2 pi n


TSM : Dirac semimetal, Weyl semimetal, node-line semimetal

Dirac points of linear crossing of two doubly degenerate bands near the Fermi level

Weyl points, pointlike band crossings of two nondegerate bands with linear dispersion near the Fermi level

1D line, ring-shaped nodal line

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http://incredible.egloos.com/4577409
http://www.nature.com/am/journal/v9/n3/pdf/am201726a.pdf

nodal-point semimetals : twofold, fourfold degenerate Fermi points
negative magnetoresistance, chiral magnetic effect

nodal line/ring semimetals : valence and conduction bands cross along one-dimensional lines in 3D k-space



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덧글

  • 바죠 2017/05/05 09:06 # 삭제 답글

    https://arxiv.org/pdf/1705.01111.pdf
  • 바죠 2017/10/17 14:26 # 답글

    https://arxiv.org/pdf/1710.05144.pdf
    https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1710/1710.05414.pdf

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