Topological materials(위상 물질) by 바죠

Topological Insulator (TI, 위상 절연체) 연구가 지난 10여년 동안  활발하게 진행되어왔다.
위상 물질 연구의 새로운 시작이였다. 그 뿌리는 정수 양자 홀 효과라고 볼 수 있다. (KT transition 포함)
정수 양자 홀 효과에서 얻어낸 개념들이 위상 절연체를 해석하는데 아주 주효했다. 
물론, 그래핀의 전자구조 특성 연구도 아주 중요한 항목이였다.  
 
최근에는 금속 특성을 가지는 위상 물질 연구가 활발하게 진행중이다.
위상학적을 특성을 보이는 전자구조 연구가 위상 절연체라고 하는 절연체에 더이상 국한될 필요가 없게된 것이다.
금속에서도 위상 절연체 이론이 그대로 적용된다. 물질뿐만아니라 이론자체도 사실은 좀 더 확장된 것이다.
spin-orbit coupling(SOC)에 의해서 밴드갭이 열린 경우가 위상 절연체이다. 소위, 에너지상으로 밴드들이  뒤집어진것이다.
밴드갭이 여전히 닫혀 있어도 위상 특성이 그대로 나타날 수 있다.
즉, 금속에서도 위상 특성은 그대로 나타날 수 있다.  SOC 없이 결정구조의 대칭성(시간 역진 대칭 포함)만으로 위상 물질은 가능하다. 시간역진 대칭, 결정구조 대칭, SOC의 조합에 따라서 다양한 위상 물질 분류가 가능하다. 
이론적으로는 베리 위상을 언급하지 않을 수 없다. 결국의 기원은 베리 위상 문제 풀이와 닿아있다.  
1984년 베리위상 1984년 TKNN 논문이 핵심 논문이 된다는 뜻이다. 물론, 케인-멜레-푸 등이 위상 절연체 개념을 직접 언급한 사람들이다.
https://en.wikipedia.org/wiki/Berry_phase

2016년 노벨물리학상 수상자들의 업적이 위상 물리학이였다. 본격적인 위상 물리학의 시대에 접어 들었다고 볼 수 있다.
https://en.wikipedia.org/wiki/Topology


위상 물질의 특징은 아래와 같다.
spin-momentum locking: 움직이는 방향에 수직으로 스핀이 고정된다.
possible application to opto-electronic devices
high mobility    ~10,000 cm^2/V/s
이론적으로 먼저 제안됨:  2005 prediction : 2D TI,   2007 prediction : 3D TI
현재 ~100 materials
TI의 경우 SOC에 의해서 특이한 전자구조가 만들어진다. 물질 표면에만 전도상태가 존재하게 된다. 물질 내부에는 전도상태가 없다.
SOC없어도 대칭성으로만 위상 물질이 가능하다.  
위상물질의 이해는 양자 홀효과의 연장선이다.
양자 홀효과는 2차원 전자가스 상태, 낮은 온도, 강한 자기장에서 관측되는 양자화된 전기전도도 특성이다.
전기전도도 특성이 10^9 분의 1 수준으로 측정된다. 샘플의 순도와 무관하다. 이것은 전자구조의 위상학적 특성이 표출된 것이다. 전기전도도에 기여하는 전도현상은 순전히 끝머리 상태에 의해서 결정된다. 끝머리 상태는 양자화되지 않은 상태이다.
샘플 내부에 해당하는 상태는 에너지가 양자화되어 있어서 전자구조는 에너지 갭을 가지고 있다.
이 끝머리 상태는 한 쪽으로만 움직인다. 원초적으로 U 턴이 불가능하다.
마찬가지로 위상 절연체의 경우에도 물질 내부는 절연체이다. 물질 표면은 끝머리 상태로서 전기전도도에 기여할 수 있다.
표면에서, 한 쪽으로만 갈 수밖에 없는 상태가 존재한다. 좌우로 갈 수밖에 없는 상태가 각각 존재한다. 
양자 스핀 홀 효과(전하가 아니고 스핀)가 일어난다.
양자 홀효과에서 중요한 역할을 한 자기장 역할을 위상 물질에서는 SOC가 하게된다.
이 경우가 위상 절연체이다. 양자 홀효과 정수가 위상 절연체의 Z_2 수에 해당한다.
위상 절연체가 아닌 위상 물질의 경우, SOC와 무관할 수 있다.
SOC 없이 위상 특성은 가능하다. 이 경우, 반드시 특정 대칭성이 필요하게 된다.
시간역진 대칭성, SOC 크기를 동시에 따져보아야 한다.

위상 물질은 결국, 대칭성과 위상 특성이 만들어낸 것이다.
http://physics.gmu.edu/~pnikolic/articles/Topological%20insulators%20(Physics%20World,%20February%202011).pdf
http://www.nature.com/nphys/journal/v4/n5/pdf/nphys955.pdf
https://arxiv.org/pdf/1509.02295.pdf

새로운 물질 분류 방법을 제시함.
기존의 자발적 대칭성 붕괴 방식으로 물질상 분류 방식과는 다른 분류 방식이 도입될 수 있다.
https://en.wikipedia.org/wiki/Spontaneous_symmetry_breaking

Lanndau
spontaneous symmetry breaking
예를 들면 아래와 같다.
Liquid crystals    : broken translational symmetry
Magnets             : Broken rotational symmetry
Superconductors : Broken  gauge symmetry

통상, 물리학에서 대칭성은 중요한 역할을 해 왔다.
symmetry  --->    simplication, conservation, wall papers, classification (broken symmetry) 
topology    --->    deformation, topological phases of matter

symmetry and topology  --> new understanding 위상 물질

quantum electronic topological phases:
topological band theory

quantum Hall effect (QHE)
Topological Insulators
Topological Superconductors

covalent insulator :       1 eV                                semiconductors
atomic insulator   :      10 eV                                solid argon (atomic insulator)
The vacuum        :   10^6 eV  =  2m_e c^2

genus = 0
genus = 1


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quantum Hall effect 그리고 Topological Insulator(TI) :  비교 사항 
quantum Hall effect               vs           TI
B field                                   vs          spin-orbit coupling (SOC)
2D electron gas                     vs          2D, 3D
IQHE, 1D chiral fermion         vs          2 copies of IQHE --->   edge(up), edge(down), spin-momentum locking
n                                          vs          Z_2 invariant
https://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_Hall_effect

2D electron gas, low temperature, and a strong B
edge state : quantized energy를 가지지 않는다. 에너지 갭을 가지지 않는다. 한 쪽으로만 움직인다. the electrons have no choice but to propagate forwards
에너지 손실없는 완벽한 수송현상 구현함.

TI : no magnetic field 상황에서 관측됨. B  대신에 SOC가 그 역할을 함.
IQHE (Integer Quantum Hall Effect)
2D cyclotron motion(Lorentz force), Landau levels
energy quantization, energy gap, but not insulator
quantized Hall conductivity                                     :     sigma_xy   =   n e^2/h
topological invariant                                               :      n, integer,    "Chern number"
TKNN 1984
Edge states                                                          :      topologically protected 1D chiral Dirac fermions

10^9  : 1,  양자 홀효과 측정의 정밀도, 10억분의 1 accuracy

vacuum                           :           n =  0 
QHE state                        :           n = 1
Z_2  topological invariant   :           n, 정수
one-way street  1D chiral Dirac fermion
no choice but to go forward, perfect transmission, dissipationless

2D : QSH insulator
3D :  3D TI


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quantum spin Hall effect
H_SO  =  lambda L(angular momentum) . S(electron)

2 copies of IQHE --->   edge(up), edge(down)

2D TI

2pi  -->  -1
electron
Energy   vs    k
right moving, left moving

3D TI




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Su Schrieffer Heeger model  : Topological phases in 1D
undimerized     ->   delta = 0         : conductor
dimerized         ->   delta ~ |u|     : insulator
A phase : u < 0
B phase : u > 0
separated by quantum critical point
topologically distict
winding number characterizing valence band

A phase   ------------------------x------------------------- B phase
delta >0 ,  gap                            delta =0                               delta > 0, gap

topological boundary modes
E = 0,  zero mode
low energy states (topologically protected)


chiral symmetry   :                           { H(k), sigma_z }  =  0,  anticommutation
sigma_z  H(k)  sigma_z   =   -H(k)

(1)  integer winding number
(2)  particle-hole symmetry spectrum
H sigma_z  |E>   =   -E sigma_z  |E>,
sigma_z |E>       =    |-E>

Reflection symmetry
d_z  /  =  0
no particle-hole symmetry

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Topological superconductivity

superconductor (BCS)
energy gap for quasiparticle excitations
intrinsic particle-hole symmetry
addiing electron in CB == adding hole in VB

1D Topological superconductor
2 topological calsses
zero energy end state

Majorana fermion
particle  =  antiparticle

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Solid Argon
atomic insulator

Covalent insulators

topological phase of matter
: qHi
2D electron gas in high B and low T

Egap  =  hbar omega
but not an insulator

Jy  =  sigma xy  Ex
sigma_xy  =  n e^2/h

10^{-9}
1982:
integer topological invariant
TKNN
Chern number
n = 1/(2pii) ....


insulator :
               n = 0 
IQHE state:
               n = 1, 2, 3,....


Edge States
classical    : skkiping orbits  (한 쪽으로만 움직임)
quantum     : 1D chiral Dirac fermions,  E = v p
Chiral edge states are topologically protected
insensitive to disorder
precisely quantized conductance
without dissipation
 
Bulk invariant       =   Boundary invariant
Chern number      =    # chiral edge modes

Time-reversal symmetry

magnetic field
B   -->   -B

Chiral edge state
right mover  ->  left mover

spin angluar momentum
S   -->  -S
up       -->     down, complex
down   -->   -up, complex

T^2 = -1    -- >  Kramers' Theorem
at least 2-fold degerate



QSHI

2 copies of qHE

HgCdTe qauantum wells

3D 
four Z2 invariants

Bi2Se3
gap  =  0.3 eV
room temperature TI

break TI

break gauge symmetry (Superconducting Proximity Effect)
topological superconductor


energy gap for quasiparticle excitations
particle - hole symmetry

1D topological superconductor

particle  =  anti particle





 spin
+B
-B

high Z materials


2D qsHi (2005)

No U turn

up spin
down spin

2006  : 
2007  :


3D

No U turn

Conducting surface
~100 materials

Majorana fermions
Axion electrodynamics
spintronics
Topological Bose condensate



symmetry
invariant
characterize

topology
deformation
distinguish

genus = 0
genus = 1


adiabatic deformation
topological quantum critical point


Topological equivalence : princple of adiabatic continuity

H(k): BZ (torus) -> Bloch Hamiltonian with energy gap

quantum Hall (Chern) insulators
TI
Weak TI
Topological crystalline insulators
Topological (Fermi, Weyl, Dirac) semimetals
 

fractional quantum numbers
topological ground state degeneracy
quantum information
Symmetry protected topological states
Surface topological order

Topological superconductivity
Proximity induced topological superconductivity
Majorana bound states, quantum information


Gauss-Bonnet Th.
https://en.wikipedia.org/wiki/Gauss%E2%80%93Bonnet_theorem


chiral symmetry : {H, sigma_z} = 0, anticommutation
particle-hole symmetry


Thouless charge pump
H(k,t+T) = H(k,t)
delta P  =  Berry phase(0) -Berry phase(T)  =  ne

Chern number: an integer topological invariant characterizing the occupied Bloch sates

IQHE : Laughlin

E = 1/(2 pi R) d flux/dt
I = 2 pi R  sigma_xy  E
flux (0)  = 0
flux (T) = h/e

delta Q  =  int_0^T  sigma_xy  d flux/dt  dt  =  sigma_xy   h/e
ne  =  sigma_xy   h/e
sigma_xy  =  n   e    e/h

TKNN invariant

flux  =  h/e
ky   =   2 pi/a


https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_phase
|u(k)>  -->   exp(i phi) |u(k)>
      A   -->   A + grad xi
 

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http://incredible.egloos.com/4577409
http://www.nature.com/am/journal/v9/n3/pdf/am201726a.pdf


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