오일러 지표, 위상수학, 위상학적 불변량, 그리고 새로운 물질의 분류 (위상학적 상전이) by 바죠

오일러 지표, 위상수학, 위상학적 불변량, 그리고 새로운 물질의 분류 (위상학적 상전이)

오일러 지표 그리고 위상수학 [位相數學] (위상학적 불변량)

눈에 보이는 것으로 설명하는 것이 중요합니다. 왜냐 하면 이것이 나름 심오합니다.

3차원에서 형성된 다면체를 먼저 고려합니다.

오일러 지표는 처음 오일러에 의해서 정의 되었다. 
다면체에 대해서 정의했었다.
그 후, 다면체를 넘어서 새로운 곳에서도 여전히 유용함을 알 수 있다.  

오일러 지표가 아래와 같은 성질을 가지는지 체크해 보자.
국소적이지 않다.
전체적으로 결정되는 것이다.
더하기를 해서 변하는 것이 아니다. 크기가 커다고 해서 커지는 것이 아니다.
시간 의존성이 없다.
비선형적이다.


오일러 지표 : V -E +F = 2, 여기에서 V, E, F는 아래와 같이 정의한다. 
꼭지점의 수 : V
모서리의 수 : E
면의 수     : F

\[ V-E+F= 2  \]

The Euler characteristic is a topological invariant.
That means that if two objects are topologically the same, they have the same Euler characteristic.

위상수학(位相數學, 영어: topology)은 연결성이나 연속성 등, 작은 변환에 의존하지 않는 기하학적 성질들을 다루는 수학의 한 분야이다.  위상수학은 위상기하학(位相幾何學)이라고도 불리운다.




정20면체 (20면, 12개 꼭지점, 30개 모서리, V -E +F = 12-30+20=2)
잘려진 정20면체 : 좌측의 경우, V -E +F = 60 -90 + 32   = 2.

탄소60, 풀러렌에는 왜 오각형이 12개만 존재하는가?
더 큰 크기의 탄소 클러스터에서도 안정한 구조들에서 오각형은 12개만 필요하다.  [가장 안정한 구조의 경우에 그렇다.]

2차원에서는 V -E +F= 1이 됩니다. 오일러 지표값이 1이 됩니다.
아래에 표시된 그림들을 보면 오일러 지표를 계산할 수 있습니다. 


2차원에서 원을 만들 수 있다. 그런데, 그 원을 위의 삼각형을 변형시켜서 만들었다고 하자. 피자 반죽을 생각하고, 그것을 변형시키는 과정을 생각해 보자.

원의 오일러 지표는 1이다. 위의 그림들을 응용하면 원을 만들 수 있다.
아래의 2차원에 표시된 사각형도 오일러 지표는 1이다.
오일러 지표를 기준으로 보면 아래와 같이 서로 같은 것이라고 말할 수 있다.
모두 다 오일러 지표가 1이기 때문이다. 오일러 지표는 전체 모양과 관련된 수이다. 
기하학적으로는 서로 다른 것들인데, 위상학적으로는 서로 같은 것이다. 
예를 들어, 각이 져있는 물체, 정20면체와 각이 없는 매끈한 구를 비교해 보는 것은 매우 의미있다.
이들 모두 오일러 지수는 2이다.
마찬가지로 토러스는 0인데, 0인 물체를 만들수 있다. 토러스를 각지게 만들면 된다.  

V-E+F = 2 -2g =2(1-g)

\[V-E+F = 2(1-g) \]




V-E+F= 16-32+16=0

오일러 지표가 위상학적 불변량 역할을 하고 있다. 위상학적 불변량 = 2
다시 말해서 위상학적 불변량이 같으면 위상학적으로 동일하다고 한다. 


물리학에서도 위상학적 불변량이 있다. 시간 의존성이 없고, 오로지 기하학적 모양에 의해서만 정의되는 것이다. 
위상학적 불변량은 물량이 많아서, 부피의 대소로부터 나오는 것이 아니다. 
국소적 성질에 의해서 생기는 것도 아니다. 오히려 전반적인 구조적 특성에서 기인하는 것이다. 
시스템 고유의 기학적 배치에 의한 것이다.
또한, 실험적으로 측정 가능한 위상학적 불변량이 있을 수 있다.
이미 노벨 물리학상이 나왔다.: 

위에서 언급한 노벨 물리학상의 확장 개념으로 활발한 연구들이 진행되고 있다.
최근 15년간 이러한 위상학적 불변량을 찾아내고 측정하는 것이 중요한 물리학의 일부가 되었다.
위상학적으로 새롭게 물질 분류가 가능하다. 
외부 조건 변화에 대해서 변하지 않는 양이 있다면 매우 유용할 것이다. 
천천히 연속적으로 변화하는 환경에서 변화하지 않는 특정한 지표가 있다면 유용할 것이다.
특히, 이것이 측정 가능한 것이라면 더더욱 놀라운 기준이 될 것이다.
본디 물리학은 불변량을 찾는 학문이기 때문이다. 
이렇게 되면, 식물의 분류학에서 처럼, 물질을 분류할 수도 있을 것이다. 

동일한 유전형질을 나타내는 개체군을 종이라고 표현하듯이 위상학적 불변량이 같은 것은 같은 물질 "종"으로 분류할 수 있을 것이다.  

여기서 동일한 유전형질은 '위상학적 불변량'이 될 것이다.
따라서, 서로 다른 물질 "종"은 위상학적으로 서로 다른 "고유의 위상학적 불변량"을 가지게 되는 것이다. 

그렇다면, 과연 무엇이 위상학적 불변량이 될 수 있을까?
잘 알려진 것처럼, 물질의 성질은 소위 전자구조에 의해서 결정된다.
예를 들면, 도체, 절연체, 반도체에서 처럼, 전자구조가 물성을 좌우한다.
전자구조라 함은 전자들이 어떻게 배열되어 있는가에 대한 것이다.
반도체의 경우, 온도가 올라가면 전기가 더 잘 통할 수 있다.
이것은 아주 작은 크기의 밴드갭을 가지는 매우 독특한 전자구조를 가지고 있기 때문에 가능하다.

전자들의 상태가 Brillouin zone(BZ) 내부 공간에서 어떻게 분포하는가?
사실 BZ는 torus 같은 것이다. 왜냐하면 반복되는 구조를 가지고 있다. 
특정한 방향으로 여행을 하면 제자리로 돌아오게 되어 있다.
아래 그림에서처럼 일차원인 경우 -pi와 pi는 같은 위치를 나타낸다.
밴드구조를 보고 물질의 특성을 구별할 수 있을 수도 있다. 하지만, 위상학적 분류는 쉽지 않다. 
밴드구조만 보고 추측을 할수는 있지만, 결론지을 수는 없다. 사실상 불가능하다.
밴드구조만으로 위상학적 불변량을 계산할 수 없다. 
본질적으로 파동함수, 해밀토니안 없이는 구별이 안 된다.
이것이 왜 위상 절연체가 매우 나중에 정의되고 발견되었는지를 잘 설명해준다.
밴드구조만으로는 본질적으로 위상 물질을 정의할 수 없다. 파동함수를 반드시 알아야만 한다.  
하지만, 특별한 경우, 밴드구조를 보고 위상학적으로 물질을 분류할수도 있다.

topological invariants: nonlocal, nonlinear, intensive, global, time-independent

topological phase transitions: 
[Chern number 계산을 통한 전자구조 (밴드구조) 분류 예제]


h(kx,ky,m)=sin(kx) sigma1 + sin(ky) sigma2 +(m+cos(kx)+cos(ky)) sigma3

\[ {\Large h(k_x,k_y, m) = sin(k_x) \sigma_1 + sin(k_y) \sigma_2 + \left\{ m + cos(k_x)+cos(k_y)  \right\}\sigma_3 } \]


 



위상학적으로 보호받는 특별한 상태가 존재하게 된다. 
계면을 따라서 손실이 없이 전파가 잘 되는 상태가 존재하게 된다.
소리, 광, 전자 모두에 해당된다.

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T^2 = eta I = -I or +I


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