Wilson loops, Wannier charge centers (Berry phases) by 바죠

Wilson loops, Wannier charge centers (Berry phases)



위상 물질은 기존의 밴드 이론에서 간과되었던 파동함수의 위상에 대한 새로운 해석을 준다. 
[위상학적 논의는 단지 전자에만 해당하는 것이 아니다. https://en.wikipedia.org/wiki/Photonic_topological_insulator
전자의 밴드 이론에만 국한되지 않는다. 전자, 광자, 포논의 밴드 이론에도 똑같이 적용된다.]
위상이 결정적인 역할을 할 수 있는 경우는 밴드가 꼬이는 경우이다. 브릴루앙 존에서 밴드가 꼬인 경우이다.
[실공간 단위셀에서도 마찬가지 예를 찾을 수 있다. Skirmion] 
브릴루앙 존은 주기적인 공간이다. 
브릴루앙 존내의 결정 운동량은 베리 위상을 공부할 때 출현하는 소위 천천히 변화하는 변수에 해당한다. 
통상 한바퀴를 돌면, 360도, 2 pi가되어야 한다. 자기 자신으로 돌아오는 것을 말한다. 
\[ exp(i 2\pi) =1 \]

하지만, 브릴루앙 존에서 한바퀴를 돌았는데, 어떤 파동함수의 위상이 2pi가 아니라 180도, pi가 되는 상황이 생길 수 있다.
이것은 마치 T라는 무엇을 제곱했는데, T^2 = 1이 아니고 T^2 = -1이 되는 것과 유사한 것이다.
\[ T^2 =1 \]
\[ T^2 = -1 \]

T=exp(-i pi/2) 이면 된다.  [시간 역진 대칭]

\[ T= exp(-i \pi/2)\]

M^2 = -1 이라는 것도 있을 수 있다. M = i, -i 이면된다. [거울 대칭]

\[ M^2 = -1 \] 
\[ M= i \]
\[ M= -i \] 
밴드는 결정 운동량 공간에서의 가능한 에너지 상태의 흐름인데, 이것이 보기좋게 꼬인 경우이다.
즉, 대칭성에 의해서 허용된 에너지 준위들에는 어느 정도 다양성을 확보할 수 있는 여유가 있다. 
[높은 대칭성을 가지는 k point에서 밴드가 벗어날 때, 동등한 수준의 다소 낮은 대칭성을 가지는 k point들이 존재한다. 
이 때, 밴드는 여러 가지 에너지 준위들 중에서 특별한 하나를 선택할 수 있다. 더 높이 올라갈 수도 더 낮게 내려 갈 수도 있다.
그 다음 이 밴드는 또 다시 높은 대칭성을 가지는 k point로 이동해야만 한다. 
또한 그곳에서는 높은 축퇴를 만족해야할 것이다.] 
밴드의 흐름에는 하나 이상의 새로운 가능성이 있다. 이것을 가능하게 하는 에너지 요인이, 물론, 필요하다. 
여전히 대칭성을 만족하면서 에너지 준위를 새롭게 개편할 수 있는 요인이 필요하다. 
이 요인은 많은 경우, 스핀-궤도 결합니다. 이것은 상대론적 효과이다. [sigma . p 으로 time-reversal symmetry를 깨지 않는다.]
통상 스핀-궤도 결합(spin-orbit coupling)의 크기는 무거운 원자들에서 잘 나타난다 
\[ Z^4 \]
Z^4에 비례한다. Z 는 원자가 가지는 전자수를 지칭한다.
쉽게 이야기 하면, 스핀-궤도 결합에 의해서, 
기존의 결정 대칭성을 그대로 만족하는, 결정 운동량 공간에서, 새로운 에너지들의 재편성이 가능하다.
즉, 꼬인 밴드를 얻을 수 있다. 브릴루앙 존은 주기적인 공간이다. 
스핀-궤도 결합(spin-orbit coupling)에 의해서 에너지 준위가 개편된다고 하더라도 
여전히 기존의 각종 대칭성에 의해서 특정한 결정 운동량 값들에서는 에너지 준위에서 다소 높은 축퇴를 얻어 낼 수 있다. 
이렇게 되면, 이 물질은 고유한 표면 상태를 가지게 된다. 이 고유한 표면상태는 없애 버릴 수 없는 것이다.
또한, 강력한 진행성향을 가지고 있어서, 높은 이동도를 보이게 된다. 
[백스캐터링이 불가능하게 된다. 자성 불순물이 존재하지 않는한 뒤로 산란될 수 없다.]
사실, 이러한 상태의 전자들은 결코 국소화될 수 없는 운명에 직면하게 된다. 
공간 한 곳에 머물러 있을 수 없게 된다. [Wannier charge center(WCC)가 외부 변수에 따라서 크게 이동하게 된다.][WCC flow = WCC evolution == Wilson loop]
적어도 한 방향으로는 국소화될 수 없게되는 경우가 있다.
많은 경우는 3차원에서 세 방향으로 모두 국소화되기도 한다.
이러한 물질에서는 공간에 의해서만 정의되는 위상 불변량을 정의할 수 있게 된다.
이러한 위상 불변량은 측정 가능한 물리량으로 귀결된다. 
연속적이고 전반적인 유연한 변화에 둔감한 것이 위상 불변량이다. [topological invariant]

위상 물질의 출현은 기존의 대칭성에 의한 물질의 분류를 넘어서게 하는 예제가 된다. 
위상 불변량에 의해서 새롭게 정의되는 물질 분류가 가능하다.
기존에는 위상 불변량을 도입하여 물질을 분류할 수 있을 것이라고 생각하지 않았다. 
과거에도 물질들은 그대로 있었다. 하지만, 새로운 물질의 분류가 위상 불변량에 의해서 가능하게 된 것이다.
대략적으로 24% 물질이 위상 물질이라고 한다. 위상 물질을 이용한 응용 연구도 활발하다.
과거 열전 물질로 잘 알려진 것들이 대부분 위상 물질이다. 이들은 대부분 높은 전기 전도도를 가지고 있었다.

위상 물질을 이론적으로 확인하는 방법에 대한 연구가 많이 진행되어 왔다.  [약 15년 정도 연구가 진행되었다.]
위상 물질은 파동함수의 베리 위상으로 부터 발현한다. 따라서, 파동함수를 파악하는 것이 매우 중요하다.
통상 고유값같은 직접적으로 측정 가능한 물리량과는 다소 거리가 있는 것이다.
파동의 위상이 측정 가능한 물리량으로 직결되는 경우는 그렇게 많지 않다.

덩치상태 물성으로 부터 위상 물질 여부를 파악해 낼 수 있다.
파동함수 없이 고유값만으로 위상 물질 진위를 파악하는 것은 매우 어렵다. 
[불가능하지는 않다. 하지만, 결국 파동함수로 부터 기인하는 물리량이라는 점에 유의해야만 한다.]

베리위상은 시간 의존성이 없는 것이다.
완전하게 공간으로만 정의되는 것이다. 공간에 대한 해석만으로 정의된다.
게이지 불변인 것이다. 관측될 수 있다. 물리량으로 연결될 수 있다. 실험적으로 관측가능할 수 있다.

베리 위상의 실제 계산 방법들을 생각하자.
그 중에서 Wilson loop를 이용하는 것이 유명하다. 
또한, Wannier charge center(WCC)를 전자구조 밴드 그리듯이 그리는 방법이 있다.
여기서 WCC는 사실상 베리 위상을 의미한다. 베리 위상의 계산으로 부터 WCC를 얻어낼 수 있다.
 
[time-reversal symmetry가 있는 경우에 대해서 토의한다.] 반전 대칭성이 있거나 없거나 동일한 논의가 가능하다.

예를들면, 아래의 그림처럼 두 가지 WCC 밴드를 생각한다. red band, blue band를 생각한다.
즉, x (xbar) 방향의 WCC값을 ky의 함수로 계산할 수 있다. 
즉, 베리 위상을 계산하는 과정에서, kx 방향으로 적분을 수행한 경우이다. 
xbar = xbar(ky) 처럼 그릴수 있다.

적분을 통해서 우리는 { kx, ky } 공간 --> { xbar, ky } 공간으로 변형할 수 있다.

채워진 밴드들로 부터 얻을 수 있는 총 베리 위상을 계산해 보자. == 윌슨루프 계산 [Chern number를 계산하는 방법] :
가장 먼저, k points를 준비한다. (되돌아 오는 경로를 선택한다. Brillouin zone은 주기적인 공간이다.)
k0, k1, k2, ..., kn=k0  (C: path를 준비한다.)
중첩 행렬(M)을 계산한다. 곧바로 SVD(singular value decomposition)를 실행한다. 
최대한 정렬하여 배열한다는 의미를 가지고 있다.
W=UV^+ 로 선언되는 W 행렬을 계산한다. M으로 부터 W를 얻어낸다.
결국, 순차적으로 W=UV^+를 계속해서 만들어 내고 연속해서 곱해나간다. 
최종적으로 얻어낸 행렬을 대각화 한다. 
고유치를 얻어낸다.

검증 방법: Wilson loop eigenvalues vs discretization step 수에 대해서 수렴성을 체크할 수 있다. 
보다 많은 단계들을 이용할 경우, 고유치는 수렴할 것이다.



W(C)는 사실 아래 식의 Lambda와 같은 것이다. 

[0, 2pi] 구간에 대해서 적용한 경우를 보자. 
순서대로 M 행렬을 연속적으로 곱한것을 Lambda로 볼 수 있다. 



red band, blue band 사이의 중간값에 해당하는 green line을 정의한다.
green line에 집중한다. 이것이 불연속적인 부분을 체크한다. [0, pi] 구간에서 불연속적인 점의 갯수를 체크한다.

적분이 ky 방향에 대해서 이루어진 경우
적분이 kx, ky 방향에 대해서 이루어진 경우

WCC 밴드 구조와 전자구조 밴드 구조의 유사성을 알아보자.


Wannier charge center는 여러 개가 있을 수 있다. 단위셀에 두 개가 있을 수 있다.

“Topological invariant” = quantity that does not change under continuous deformation

포토닉스 경우에 적용: one-way edge waveguide https://www.nature.com/articles/nphoton.2014.248


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